사원수 켈러 다양체

3. 성질

사원수 켈러 다양체는 켈러 다양체가 아니다. 켈러 다양체의 홀로노미는 U(2''n'')인데, Sp(''n'')Sp(1)은 U(2''n'')의 부분군이 아니기 때문이다. 즉, 사원수 켈러 다양체는 자연스러운 복소 구조를 지니지 않는다.

모든 사원수 켈러 다양체는 아인슈타인 다양체다. 즉, 그 리치 곡률 텐서가 계량 텐서에 비례한다.

조지프 A. 울프는 대칭 4원수-켈러 다양체를 분류하였으며,^[5] 이를 울프 공간이라고 한다. 임의의 단순 리 군 ''G''에 대해, $K\; =\; K\_0\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{SU\}(2)$의 부분군으로 ''G''를 나눈 몫으로 얻어지는 고유한 울프 공간 ''G''/''K''가 존재한다. 여기서 $SU(2)$는 ''G''의 최고근과 관련된 부분군이고, ''K''₀는 ''G''에서 그 중앙화 부분군이다. 양의 리치 곡률을 갖는 울프 공간은 콤팩트하고 단일 연결되어 있다. 예를 들어, $G=\; Sp(n+1)$인 경우, 해당 울프 공간은 $\backslash mathbb\{H\}^\{n+1\}$에서 원점을 지나는 (오른쪽) 4원수 직선의 4원수 사영 공간 $\backslash mathbb\{HP\}\_n$이다.

양의 스칼라 곡률을 갖는 모든 완전 4원수-켈러 다양체는 대칭이라는 추측이 있다. 그러나, Galicki-Lawson^[6]과 LeBrun^[7]의 구성은 음의 스칼라 곡률을 갖는 완전하고 국소 비대칭 4원수-켈러 다양체가 많이 존재함을 보여준다. Galicki-Lawson 구성은 또한 양의 아인슈타인 상수를 갖는 매우 많은 수의 콤팩트 국소 비대칭 오비폴드 예제를 생성하며, 이 중 많은 예제가 차원 $4n+3$의 콤팩트하고 비특이적인 3-사사키안 아인슈타인 다양체를 생성한다.^[8]

살라몬(Salamon)^[9]과 베라드-베르제리(Bérard-Bergery)^[10]는 트위스터 이론을 이용하여, 사원수 켈러 다양체 ''M''에 대하여, $j^2=-1$을 만족하는 모든 $j\backslash in\; H$로 구성된 $S^2$-다발 $Z\backslash to\; M$을 정의했을 때, $Z$가 복소다양체임을 보였다.

''M''의 리치 곡률이 양수일 때, ''Z''는 파노 다양체이며, 특히 매끄러운 사영 대수적 복소다양체이다. 또한 켈러-아인슈타인 메트릭을 허용하며, 더 중요한 것은 ''H''에 대한 리만 연결의 수평 공간에 해당하는 정칙 접촉 구조를 갖추고 있다는 것이다.

르브룬(LeBrun)과 살라몬(Salamon)^[11]은 주어진 차원에서 등거리 변환 및 재조정을 제외하고는 양의 스칼라 곡률을 갖는 콤팩트 사원수 켈러 다양체가 유한하게 존재한다는 것을 증명하였다.

4. 예시

컴팩트 4원수-켈러 다양체 중 국소 대칭이 아닌 예시는 알려진 것이 없다. (초켈러 다양체는 논의에서 제외된다.) 반면에 조지프 A. 울프에 의해 처음 분류된 대칭 4원수-켈러 다양체는 많이 존재하며, 울프 공간으로 알려져 있다.^[5]

LeBrun과 Salamon은 양의 스칼라 곡률을 갖는 모든 완전 4원수-켈러 다양체는 대칭이라는 추측을 제기했다. 그러나 Galicki-Lawson^[6]과 LeBrun^[7]의 구성은 음의 스칼라 곡률을 갖는 완전하고 국소 비대칭 4원수-켈러 다양체가 많이 존재함을 보여준다. Galicki-Lawson 구성은 또한 양의 아인슈타인 상수를 갖는 매우 많은 수의 컴팩트 국소 비대칭 오비폴드 예제를 생성하며, 이 중 많은 예제가 차원 $4n+3$의 컴팩트하고 비특이적인 3-사사키안 아인슈타인 다양체를 생성한다.^[8]

4. 1. 울프 공간

4. 2. 4원수 사영 공간

4. 3. 기타

5. 트위스터 공간

사원수 켈러 다양체에 관한 문제는 트위스터 이론을 사용하여 복소 기하학의 언어로 번역될 수 있다. 이 사실은 살라몬(Salamon)과 베라드-베르제리(Bérard-Bergery)가 독립적으로 발견한 정리에 요약되어 있으며, 펜로즈(Penrose)의 초기 연구에서 영감을 받았다. $M$을 사원수 켈러 다양체라고 하고, $H$를 $\backslash mathfrak\{sp\}(1)\; \backslash subset\; \backslash mathfrak\{sp\}(n)\backslash oplus\; \backslash mathfrak\{sp\}(1)$의 홀로노미 작용에서 발생하는 $End(TM)$의 부분 다발이라고 하자. 그러면 $H$는 $j^2=-1$을 만족하는 모든 $j\backslash in\; H$로 구성된 $S^2$-다발 $Z\backslash to\; M$을 포함한다. 따라서 $Z$의 점들은 $M$의 접선 공간에 대한 복소 구조를 나타낸다. 이를 사용하여 전체 공간 $Z$에는 자명한 거의 복소 구조가 부여될 수 있다.

살라몬(Salamon)^[9]과 베라드-베르제리(Bérard-Bergery)^[10]는 독립적으로 이 거의 복소 구조가 적분 가능하다는 것을 증명하여 $Z$를 복소다양체로 만들었다.

5. 1. 파노 다양체

5. 2. 르브룬의 결과

참조

_[1] 논문 Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes http://www.numdam.or[...]
_[2] 논문 Structure presque quaternale sur une variété differentiable
_[3] 논문 Topology of quaternionic manifolds https://www.ams.org/[...]
_[4] 논문 Sur l'algèbre extérieure d'une variété presque hermitienne quaternionique
_[5] 논문 Complex homogeneous contact manifolds and quaternionic symmetric spaces
_[6] 논문 Quaternionic reduction and quaternionic orbifolds http://www.galicki.c[...]
_[7] 논문 On complete quaternionic-Kähler manifolds https://www.math.sto[...]
_[8] 서적 Sasakian Geometry https://books.google[...] Oxford University Press 2008
_[9] 논문 Quaternionic Kähler manifolds
_[10] 문서 Besse 1987
_[11] 논문 Strong rigidity of positive quaternion-Kähler manifolds
_[12] 논문 Quaternionic Kähler 8-manifolds with positive scalar curvature
_[13] 논문 Fano manifolds, contact structures, and quaternionic geometry